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2、查看完整內(nèi)容> 內(nèi)容來自用戶:拉二胡的流浪者 第十一章第三節(jié)任意項級數(shù)的審斂法一,交錯級數(shù)及其審斂法二,絕對收斂與條件收斂一,交錯級數(shù)及其審斂法1.定義交錯級數(shù):若交錯級數(shù)滿足:()u1u2+u3L+(1)n1un+Lun>0定理11.6(萊布尼茨審斂法)limun=0,1)un≥un+1(n=1,2,L);2)∞n→∞則∑(1)n=1n1un收斂,且其和S≤u1,稱滿足條件1),2)的級數(shù)為萊布尼茨交錯級數(shù)其余項滿足rn≤un+1.證明思路:limS2n=S,limS2n1=SlimSn=Sn→∞n→∞n→∞證1先證部分和數(shù)列S2n單調(diào)增加且有上界.QS2n=(u1u2)+(u3u4)+L+(u2n1u2n)=S2n2+(u2n1u2n)≥S2n20≤un遞減+S2n=u1(u2u3)(u4u5)L(u2n2u2n1)u2n≤u1∴{S2n單調(diào)增加且有上界∴n→∞limS2n=S≤u12再證limS2n1=Sn→∞又limS2n+1=lim(S2n+u2n+1)=limS2n=Sn→∞n→∞n→∞∴n→∞limSn=S,故級數(shù)收斂于S,且S≤u1,Sn的余項:rn=SSn=±(un+1un+2+L)rn=un+1un+2+L≤un+1.仍為萊布尼茨交錯級數(shù)注1萊布尼茨定理中的條件(1)可換成:un+1≤un2o{un不單調(diào)∞(n≥N)/n=1∑(1)∞n1un(un>0)發(fā)散;n2+(1)n2+(1)反例:對于∑(1)n1,un=>0nn22n=1雖然{un不單調(diào),事實。

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